假设平面内一直线绕定点匀速旋转并最终回到开始位置，同时一个动点随着直线旋转，从定点开始沿着直线匀速运动，则该动点会在平面内画出一条螺线。 ——阿基米德
阿基米德的发现造就了我们对 π 的现代理解，他用曲线把几何图形化为方形，还发现了用二刻尺三等分角的方法，并用类似二刻尺作图的方法作出了正七边形。他还发明了螺线。使用螺线可以把一个角 n 等分、作任意正 n 边形、化圆为方以及化圆为线。在《论螺线》中，阿基米德写道：
假设平面内一直线绕定点匀速旋转并最终回到开始位置，同时一个动点随着直线旋转，从定点开始沿着直线匀速运动，则该动点会在平面内画出一条螺线。
图 11.9 中给出了阿基米德（等速）螺线的前三圈。
用螺线把角三等分，或是更一般的 n 等分都非常容易。如图11.10 所示，假设我们有角 θ =∠AOB。以 OA 为生成射线的初始方向，并作螺线。将螺线与射线 OB 的第一个交点记为 C。用尺规三等分线段 OC，假设 OD = ⅓OC。以 O 为圆心、以 OD 为半径作圆，交螺线于 E。作射线 OE。那么∠AOE= ⅓∠AOB= ⅓θ。这个作法背后的原理和割圆曲线三等分角的原理类似。根据螺线定义，因为 D 是 OC 的三等分点，所以该射线转过了到 OC 所需角度的 1/3。
注意，我们可以用类似方法把角任意等分。特别是，假定给我们一个 360° 角，对于任意 n，我们都可以作 (360/n)° 角。因此，螺线使得我们可以作任意正多边形。
看到这一性质，我们肯定忍不住会想，螺线就是为此而被发明的。但是，螺线还有个不那么明显的用途，那就是化圆为方。这才是彰显了阿基米德的聪明才智的地方。
假设我们有一条以 O 为中心的螺线，令 A 为螺线第一圈的终点（图 11.11），设 B 为第一圈上一点，过 O 作 OB 的垂线 OC。阿基米德随后给出了过点 B 作螺线切线的方法。两千年后，随着微积分得到发展，作曲线切线也成了一个重要课题。阿基米德的这一作图很可能是除作圆切线以外第一次作曲线的切线。假设切线交 OC于 D。以 O 为圆心、以 OB 为半径作圆，交 OA 于 E。然后阿基米德证明了线段 OD 和弧 EBA 长度相等。
再来考察 A =B（这情况下也等于 E）的情形（图 11.11 右）。在这种情况下，OD 的长度等于以 OA 为半径的圆的周长。这样，阿基米德就成功地用螺线化圆为线！正如我们所知，这等价于化圆为方。注意，三角形 ADO 的一条直角边长度为圆周长，另一直角边是圆的半径。根据阿基米德在《圆的测量》中的工作，这个三角形和圆面积相等，而把这个三角形化为方形则非常简单。
关于螺线，我们还有最后一点要讲：当很多人想到螺线时，他们会想到海螺截面或是向日葵种子的排列形状。这些都是对数螺线，而不是阿基米德螺线。对数螺线由笛卡儿发明，后来被很多数学家所研究。这其中也包括了雅各布·伯努利（1655—1705）。他把对数螺线称为“spira mirabilis”，它在拉丁文中意为“神奇的螺线”。实际上，我们也可以用对数螺线来把角任意等分、作任意正多边形以及倍立方。2012 年，皮耶特罗·米利西和罗伯特·道森在一篇论文中证明了这一点。在这篇论文中，他们还提出了一种可以画出对数螺线的圆规。
我们没法介绍所有被发明或是被拿来解决古典问题的曲线，甚至都没法介绍所有的古希腊曲线。比如，古希腊数学家戴可利斯（约公元前 240—约公元前 180）曾在他的著作《论凸透镜》中使用了蔓叶线来倍立方。帕普斯在他的《数学汇编》中给出了两种使用抛物线三等分角的方法（他没有给出出处）。杨布里科斯提到阿波罗尼奥斯使用蚌线的一种“姐妹”曲线来化圆为方。他还提到卡尔普斯使用了一种“双动点”曲线来化圆为方。不过可惜的是，我们无法知道这些曲线到底是什么了。
上文转自图灵新知，节选自《不可能的几何挑战》，【遇见数学】已获转发许可。